ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.3

1) $\log_7 x > 2$ Так как основание логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $$ x > 7^2 $$ $$ x > 49 $$ Условие $x > 0$ выполняется автоматически. Ответ: $(49; +\infty)$. --- 2) $\log_5 x \le -1$ Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция возрастает. Учитывая область определения логарифма ($x > 0$): $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \le 5^{-1} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \le \frac{1}{5} \end{cases} $$ $$ 0 < x \le 0,2 $$ Ответ: $(0; 0,2]$. --- 3) $\log_{\frac{1}{2}} x \le 5$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическому выражению знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \ge \left(\frac{1}{2}\right)^5 $$ $$ x \ge \frac{1}{32} $$ Условие $x > 0$ выполняется автоматически, так как $\frac{1}{32} > 0$. Ответ: $\left[\frac{1}{32}; +\infty\right)$. --- 4) $\log_{\frac{1}{3}} x > 1$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный, при этом учитываем область определения ($x > 0$): $$ \begin{cases} x > 0 \\ x < \left(\frac{1}{3}\right)^1 \end{cases} $$ $$ 0 < x < \frac{1}{3} $$ Ответ: $\left(0; \frac{1}{3}\right)$. --- 5) $\log_2 (5x + 1) > 4$ Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастает: $$ 5x + 1 > 2^4 $$ $$ 5x + 1 > 16 $$ $$ 5x > 15 $$ $$ x > 3 $$ Так как $5x + 1 > 16 > 0$, подлогарифмическое выражение положительно. Ответ: $(3; +\infty)$. --- 6) $\log_{0,6} (x - 2) < 2$ Так как основание логарифма $0 < 0,6 < 1$, функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный: $$ x - 2 > 0,6^2 $$ $$ x - 2 > 0,36 $$ $$ x > 2,36 $$ Условие $x - 2 > 0$ выполняется, поскольку $x - 2 > 0,36 > 0$. Ответ: $(2,36; +\infty)$. --- 7) $\log_3 (2x - 1) \le 3$ Так как основание логарифма $3 > 1$, функция возрастает. Составим систему с учетом области допустимых значений: $$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ 2x - 1 \le 3^3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x > 1 \\ 2x - 1 \le 27 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 0,5 \\ 2x \le 28 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 0,5 \\ x \le 14 \end{cases} $$ $$ 0,5 < x \le 14 $$ Ответ: $(0,5; 14]$. --- 8) $\log_7 (9x + 4) \le 2$ Так как основание логарифма $7 > 1$, функция возрастает. Учитываем условие положительности подлогарифмического выражения: $$ \begin{cases} 9x + 4 > 0 \\ 9x + 4 \le 7^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 9x > -4 \\ 9x + 4 \le 49 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -\frac{4}{9} \\ 9x \le 45 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -\frac{4}{9} \\ x \le 5 \end{cases} $$ $$ -\frac{4}{9} < x \le 5 $$ Ответ: $\left(-\frac{4}{9}; 5\right]$. --- 9) $\log_{0,5} (2x + 1) \ge -2$ Так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$, функция убывает. При потенцировании меняем знак неравенства на противоположный и учитываем область определения: $$ \begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ 2x + 1 \le (0,5)^{-2} \end{cases} $$ Вычислим правую часть: $(0,5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$. $$ \begin{cases} 2x > -1 \\ 2x + 1 \le 4 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -0,5 \\ 2x \le 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -0,5 \\ x \le 1,5 \end{cases} $$ $$ -0,5 < x \le 1,5 $$ Ответ: $(-0,5; 1,5]$. --- 10) $\log_{0,2} (x + 6) \ge -1$ Так как основание логарифма $0 < 0,2 < 1$, функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный: $$ \begin{cases} x + 6 > 0 \\ x + 6 \le (0,2)^{-1} \end{cases} $$ Вычислим правую часть: $(0,2)^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$. $$ \begin{cases} x > -6 \\ x + 6 \le 5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -6 \\ x \le -1 \end{cases} $$ $$ -6 < x \le -1 $$ Ответ: $(-6; -1]$.