ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.9

1) $\log_7 x = -1$ По определению логарифма: $$ x = 7^{-1} $$ $$ x = \frac{1}{7} $$ Ответ: $\frac{1}{7}$. 2) $\log_4 x = \frac{1}{2}$ По определению логарифма: $$ x = 4^{\frac{1}{2}} $$ $$ x = \sqrt{4} = 2 $$ Ответ: $2$. 3) $\log_{\sqrt{3}} x = 6$ По определению логарифма: $$ x = (\sqrt{3})^6 $$ $$ x = (3^{\frac{1}{2}})^6 = 3^3 = 27 $$ Ответ: $27$. 4) $\log_2 x = 0$ По определению логарифма: $$ x = 2^0 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $1$. 5) $\log_x 9 = 2$ Основание логарифма должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$. По определению логарифма: $$ x^2 = 9 $$ Отсюда $x = 3$ или $x = -3$. Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$. Значит, корнем уравнения является $x = 3$. Ответ: $3$. 6) $\log_x 0,25 = -2$ Ограничения на основание: $x > 0$ и $x \neq 1$. Так как $0,25 = \frac{1}{4}$, по определению логарифма получаем: $$ x^{-2} = \frac{1}{4} $$ $$ \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4} $$ $$ x^2 = 4 $$ Отсюда $x = 2$ или $x = -2$. С учётом условия $x > 0$ получаем $x = 2$. Ответ: $2$. 7) $\log_x 2 = 2$ Ограничения на основание: $x > 0$ и $x \neq 1$. По определению логарифма: $$ x^2 = 2 $$ Отсюда $x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только $x = \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{2}$. 8) $\log_x 5 = \frac{1}{3}$ Ограничения на основание: $x > 0$ и $x \neq 1$. По определению логарифма: $$ x^{\frac{1}{3}} = 5 $$ Возведём обе части уравнения в третью степень: $$ (x^{\frac{1}{3}})^3 = 5^3 $$ $$ x = 125 $$ Значение $x = 125$ удовлетворяет условиям на основание. Ответ: $125$.