ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.10

1) $\log_6 x = 2$ По определению логарифма: $$ x = 6^2 $$ $$ x = 36 $$ Число $36 > 0$, условие существования логарифма выполнено. Ответ: $36$. 2) $\log_{\sqrt[3]{5}} x = \frac{3}{2}$ По определению логарифма: $$ x = (\sqrt[3]{5})^{\frac{3}{2}} $$ Представим корень в виде степени с дробным показателем: $$ x = \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 5^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} $$ Число $\sqrt{5} > 0$, условие выполнено. Ответ: $\sqrt{5}$. 3) $\log_{0,2} x = -3$ По определению логарифма: $$ x = (0{,}2)^{-3} $$ Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной: $$ x = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125 $$ Число $125 > 0$, условие выполнено. Ответ: $125$. 4) $\log_x 6 = 5$ Область допустимых значений: $x > 0$ и $x \neq 1$. По определению логарифма: $$ x^5 = 6 $$ $$ x = \sqrt[5]{6} $$ Найденное значение удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$. Ответ: $\sqrt[5]{6}$. 5) $\log_x 81 = 4$ Область допустимых значений: $x > 0$ и $x \neq 1$. По определению логарифма: $$ x^4 = 81 $$ Так как $81 = 3^4$, а основание логарифма должно быть положительным ($x > 0$), получаем: $$ x = 3 $$ Значение $x = 3$ удовлетворяет всем условиям. Ответ: $3$. 6) $\log_x 11 = -1$ Область допустимых значений: $x > 0$ и $x \neq 1$. По определению логарифма: $$ x^{-1} = 11 $$ $$ \frac{1}{x} = 11 $$ $$ x = \frac{1}{11} $$ Значение $x = \frac{1}{11}$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$. Ответ: $\frac{1}{11}$.