ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-8. вариант - В1

# Вариант В1 ## 1 ### а) Дана функция $f(x) = x \operatorname{tg} x - \sin^2 x$. 1. Область определения функции: тангенс определен при всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Данное множество симметрично относительно начала координат: если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$. 2. Найдем значение функции от противоположного аргумента: $$ f(-x) = (-x) \operatorname{tg}(-x) - \sin^2(-x) $$ Так как $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $\sin(-x) = -\sin x$, получаем: $$ f(-x) = (-x) \cdot (-\operatorname{tg} x) - (-\sin x)^2 = x \operatorname{tg} x - \sin^2 x = f(x) $$ Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. **Ответ:** четная. --- ### б) Дана функция $f(x) = \frac{2x^3}{\cos x - 1}$. 1. Область определения функции: знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x - 1 \neq 0 \iff \cos x \neq 1 \iff x \neq 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно начала координат. 2. Найдем значение функции от противоположного аргумента: $$ f(-x) = \frac{2(-x)^3}{\cos(-x) - 1} $$ Так как $(-x)^3 = -x^3$ и $\cos(-x) = \cos x$, получаем: $$ f(-x) = \frac{-2x^3}{\cos x - 1} = -\frac{2x^3}{\cos x - 1} = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. **Ответ:** нечетная. --- ## 2 ### а) Дана функция $y = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} \frac{x}{3}}{1 + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} \frac{x}{3}}$. Используем тригонометрическую формулу тангенса разности: $$ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $$ При $\alpha = x$ и $\beta = \frac{x}{3}$ функция принимает вид: $$ y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{x}{3}\right) = \operatorname{tg} \frac{2x}{3} $$ Наименьший положительный период тангенса $y = \operatorname{tg}(kx)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k = \frac{2}{3}$: $$ T = \frac{\pi}{\frac{2}{3}} = \frac{3\pi}{2} $$ **Ответ:** $T = \frac{3\pi}{2}$. --- ### б) Дана функция $y = 2 \sin 2x \cos x - \sin x$. Применим формулу произведения синуса и косинуса $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$: $$ 2 \sin 2x \cos x = \sin(2x + x) + \sin(2x - x) = \sin 3x + \sin x $$ Подставим полученное выражение в формулу функции: $$ y = (\sin 3x + \sin x) - \sin x = \sin 3x $$ Наименьший положительный период синуса $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 3$: $$ T = \frac{2\pi}{3} $$ **Ответ:** $T = \frac{2\pi}{3}$. --- ## 3 **Пример:** Рассмотрим функции $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \sin 2x$. **Доказательство:** 1. Докажем, что функции $f(x)$ и $g(x)$ нечетные и периодические: - $f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$ — функция $f(x)$ нечетная; - $g(-x) = \sin(2(-x)) = -\sin 2x = -g(x)$ — функция $g(x)$ нечетная; - $f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) = \sin x = f(x)$ — функция $f(x)$ периодическая с периодом $T_1 = 2\pi$; - $g(x + \pi) = \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x = g(x)$ — функция $g(x)$ периодическая с периодом $T_2 = \pi$. 2. Рассмотрим их произведение: $$ h(x) = f(x) \cdot g(x) = \sin x \sin 2x $$ 3. Докажем четность произведения $h(x)$: $$ h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-\sin x) \cdot (-\sin 2x) = \sin x \sin 2x = h(x) $$ Следовательно, функция $h(x)$ четная. 4. Докажем периодичность произведения $h(x)$: Период функции $f(x)$ равен $2\pi$, а функции $g(x)$ равен $\pi$. Число $T = 2\pi$ является общим периодом для обеих функций: $$ h(x + 2\pi) = f(x + 2\pi) \cdot g(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) \cdot \sin(2x + 4\pi) = \sin x \sin 2x = h(x) $$ Следовательно, функция $h(x)$ является периодической. Таким образом, произведение двух нечетных периодических функций $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \sin 2x$ представляет собой четную периодическую функцию $h(x) = \sin x \sin 2x$.