ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-8. вариант - Б2

## 1 Исследуйте функцию на четность или нечетность: **а)** $f(x) = x^3 \cos x$ 1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Область определения симметрична относительно нуля. 2. Найдем $f(-x)$, используя нечетность функции $y = x^3$ и четность функции $y = \cos x$: $$ f(-x) = (-x)^3 \cos(-x) = -x^3 \cos x = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ответ: нечетная. --- **б)** $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{x^2 - 4}$ 1. Найдем область определения функции $D(f)$: - тангенс определен при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - знаменатель дроби не равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0 \iff x \neq \pm 2$. Так как точки $\pm 2$ и $\pm\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)$ симметричны относительно начала координат, область определения симметрична относительно нуля. 2. Найдем $f(-x)$, используя нечетность тангенса $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и четность степени $(-x)^2 = x^2$: $$ f(-x) = \frac{\operatorname{tg}(-x)}{(-x)^2 - 4} = \frac{-\operatorname{tg} x}{x^2 - 4} = -\frac{\operatorname{tg} x}{x^2 - 4} = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ответ: нечетная. --- **а)** $f(x) = x^4 \sin x$ 1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Область определения симметрична относительно нуля. 2. Найдем $f(-x)$, учитывая, что $(-x)^4 = x^4$, а $\sin(-x) = -\sin x$: $$ f(-x) = (-x)^4 \sin(-x) = x^4 \cdot (-\sin x) = -x^4 \sin x = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ответ: нечетная. --- **б)** $f(x) = \frac{\operatorname{ctg} x}{x^3}$ 1. Найдем область определения функции $D(f)$: - котангенс определен при $x \neq \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - знаменатель дроби не равен нулю: $x^3 \neq 0 \iff x \neq 0$ (это условие уже содержится в $x \neq \pi k$ при $k = 0$). Область определения симметрична относительно нуля. 2. Найдем $f(-x)$, учитывая, что $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ и $(-x)^3 = -x^3$: $$ f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^3} = \frac{-\operatorname{ctg} x}{-x^3} = \frac{\operatorname{ctg} x}{x^3} = f(x) $$ Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ответ: четная. --- ## 2 Найдите наименьший положительный период функции: **а)** $y = \sin 4x \cos x - \cos 4x \sin x$ 1. Упростим выражение с помощью формулы синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$: $$ y = \sin(4x - x) = \sin 3x $$ 2. Наименьший положительный период функции $y = \sin kx$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для $k = 3$: $$ T = \frac{2\pi}{3} $$ Ответ: $T = \frac{2\pi}{3}$. --- **а)** $y = \cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x$ 1. Упростим выражение с помощью формулы косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$: $$ y = \cos(5x - 3x) = \cos 2x $$ 2. Наименьший положительный период функции $y = \cos kx$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для $k = 2$: $$ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ Ответ: $T = \pi$. --- **б)** $y = \frac{2 \cos 0,5x}{\sin 0,5x}$ 1. По определению котангенса $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$: $$ y = 2 \operatorname{ctg} 0,5x $$ 2. Наименьший положительный период функции $y = A \operatorname{ctg} kx$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для $k = 0,5$: $$ T = \frac{\pi}{0,5} = 2\pi $$ Ответ: $T = 2\pi$. --- **б)** $y = \frac{3 \sin \frac{x}{3}}{\cos \frac{x}{3}}$ 1. По определению тангенса $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$: $$ y = 3 \operatorname{tg} \frac{x}{3} $$ 2. Наименьший положительный период функции $y = A \operatorname{tg} kx$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для $k = \frac{1}{3}$: $$ T = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi $$ Ответ: $T = 3\pi$. --- ## 3 Постройте на отрезке $[-3; 3]$ график четной функции с наименьшим положительным периодом 2. Для построения графика воспользуемся свойствами функции: 1. **Четность**: график функции симметричен относительно оси ординат $Oy$, то есть $f(-x) = f(x)$. 2. **Периодичность с периодом $T = 2$**: значения функции повторяются через каждые 2 единицы по оси $Ox$, то есть $f(x + 2) = f(x)$. Зададим простейшую непрерывную кусочно-линейную функцию («зубчатую» волну): - На отрезке $[0; 1]$ (половина периода) зададим отрезок прямой, соединяющий точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$, то есть формулой $f(x) = 1 - x$. - В силу четности на отрезке $[-1; 0]$ график симметричен относительно оси $Oy$ и задается формулой $f(x) = 1 - |x|$ (соединяет точки $(-1; 0)$ и $(0; 1)$). - В силу периодичности с шагом $T = 2$ транслируем полученный «зубец» влево и вправо на весь отрезок $[-3; 3]$. Таблица ключевых точек ломаной: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | **Схема построения графика:** 1. На координатной плоскости строим оси $Ox$ и $Oy$. 2. Отмечаем на отрезке $[-3; 3]$ вершины зубцов: $(-2; 1)$, $(0; 1)$, $(2; 1)$. 3. Отмечаем нули функции: $(-3; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(3; 0)$. 4. Последовательно соединяем полученные точки отрезками прямых. Полученная ломаная симметрична относительно оси $Oy$ и периодична с периодом $T = 2$.