ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-8. вариант - Б1

## 1. Исследование функций на четность или нечетность **а)** $f(x) = x^3 \cos x$ 1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат. 2. Найдем $f(-x)$, используя нечетность функции $y = x^3$ и четность функции $y = \cos x$: $$ f(-x) = (-x)^3 \cos(-x) = -x^3 \cos x = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. **Ответ:** нечетная. --- **б)** $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{x^2 - 4}$ 1. Найдем область определения функции. Тангенс не определен при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, а знаменатель дроби обращается в нуль при $x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$. Таким образом, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \pm 2, x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Область определения симметрична относительно начала координат. 2. Найдем $f(-x)$, учитывая, что $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $(-x)^2 = x^2$: $$ f(-x) = \frac{\operatorname{tg}(-x)}{(-x)^2 - 4} = \frac{-\operatorname{tg} x}{x^2 - 4} = -\frac{\operatorname{tg} x}{x^2 - 4} = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. **Ответ:** нечетная. --- **а)** $f(x) = x^4 \sin x$ 1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ — симметрична относительно начала координат. 2. Найдем $f(-x)$, учитывая, что $(-x)^4 = x^4$ и $\sin(-x) = -\sin x$: $$ f(-x) = (-x)^4 \sin(-x) = x^4 \cdot (-\sin x) = -x^4 \sin x = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. **Ответ:** нечетная. --- **б)** $f(x) = \frac{\operatorname{ctg} x}{x^3}$ 1. Область определения функции: котангенс не определен при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; при $k = 0$ также обращается в ноль знаменатель $x^3 \ne 0$. Следовательно, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$ — симметрична относительно начала координат. 2. Найдем $f(-x)$, учитывая, что $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ и $(-x)^3 = -x^3$: $$ f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^3} = \frac{-\operatorname{ctg} x}{-x^3} = \frac{\operatorname{ctg} x}{x^3} = f(x) $$ Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. **Ответ:** четная. --- ## 2. Нахождение наименьшего положительного периода функции **а)** $y = \sin 4x \cos x - \cos 4x \sin x$ 1. Упростим выражение с помощью формулы синуса разности $\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha - \beta)$: $$ y = \sin(4x - x) = \sin 3x $$ 2. Для функции вида $y = \sin kx$ наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Здесь $k = 3$: $$ T = \frac{2\pi}{3} $$ **Ответ:** $T = \frac{2\pi}{3}$. --- **а)** $y = \cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x$ 1. Упростим выражение по формуле косинуса разности $\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta)$: $$ y = \cos(5x - 3x) = \cos 2x $$ 2. Для функции вида $y = \cos kx$ наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Здесь $k = 2$: $$ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ **Ответ:** $T = \pi$. --- **б)** $y = \frac{2 \cos 0,5x}{\sin 0,5x}$ 1. Используем определение котангенса $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$: $$ y = 2 \operatorname{ctg} 0,5x $$ 2. Для функции вида $y = A \operatorname{ctg} kx$ наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Здесь $k = 0,5 = \frac{1}{2}$: $$ T = \frac{\pi}{0,5} = 2\pi $$ **Ответ:** $T = 2\pi$. --- **б)** $y = \frac{3 \sin \frac{x}{3}}{\cos \frac{x}{3}}$ 1. Используем определение тангенса $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$: $$ y = 3 \operatorname{tg} \frac{x}{3} $$ 2. Для функции вида $y = A \operatorname{tg} kx$ наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Здесь $k = \frac{1}{3}$: $$ T = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi $$ **Ответ:** $T = 3\pi$. --- ## 3. Построение графика функции Требуется построить на отрезке $[-3; 3]$ график четной функции с наименьшим положительным периодом $T = 2$. ### Обоснование и алгоритм построения: 1. **Свойство четности:** график функции должен быть симметричен относительно оси ординат $Oy$, то есть $f(-x) = f(x)$. 2. **Свойство периодичности:** значения функции повторяются через интервал длины 2, то есть $f(x + 2) = f(x)$. Длина отрезка $[-3; 3]$ равна 6, что составляет ровно 3 периода ($3 \cdot T = 3 \cdot 2 = 6$). 3. Для построения достаточно: - Задать вид функции на половине периода: на промежутке $[0; 1]$. - Отразить график симметрично относительно оси $Oy$ на промежуток $[-1; 0]$, получив график на основном периоде $[-1; 1]$. - Периодически продолжить полученную фигуру со сдвигом на 2 влево (на $[-3; -1]$) и вправо (на $[1; 3]$). ### Пример 1 (кусочно-линейная функция): Зададим на $[0; 1]$ отрезок прямой $y = 1 - x$. - На основном периоде $[-1; 1]$ функция задается формулой $y = 1 - |x|$. - Таблица ключевых точек для построения: - $x = -3 \implies y = 0$; - $x = -2 \implies y = 1$; - $x = -1 \implies y = 0$; - $x = 0 \implies y = 1$; - $x = 1 \implies y = 0$; - $x = 2 \implies y = 1$; - $x = 3 \implies y = 0$. График представляет собой ломаную линию («пилу»), соединяющую последовательно точки: $(-3; 0) \to (-2; 1) \to (-1; 0) \to (0; 1) \to (1; 0) \to (2; 1) \to (3; 0)$. ### Пример 2 (тригонометрическая функция): Функция $y = \cos(\pi x)$ является четной ($\cos(-\pi x) = \cos(\pi x)$), а ее наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$. - Ключевые точки графика $y = \cos(\pi x)$ на отрезке $[-3; 3]$: - $x = -3 \implies y = -1$; - $x = -2 \implies y = 1$; - $x = -1 \implies y = -1$; - $x = 0 \implies y = 1$; - $x = 1 \implies y = -1$; - $x = 2 \implies y = 1$; - $x = 3 \implies y = -1$; - нули функции в точках $x \in \{-2{,}5; -1{,}5; -0{,}5; 0{,}5; 1{,}5; 2{,}5\}$. Оба варианта удовлетворяют всем условиям задачи. На миллиметровой бумаге или в тетради строится плавная косинусоида $y = \cos(\pi x)$ либо ломаная $y = 1 - |x|$ (с периодическим продолжением) по указанным координатам.