ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-9. вариант - А2

### 1. **а)** Сравним $\sin \frac{\pi}{12}$ и $\sin \frac{\pi}{6}$. Функция $y = \sin x$ монотонно возрастает на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Оба аргумента принадлежат первой четверти, то есть отрезку $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$: $$ 0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} $$ Так как большему значению аргумента из промежутка возрастания соответствует большее значение функции, получаем: $$ \sin \frac{\pi}{12} < \sin \frac{\pi}{6} $$ **Ответ:** $\sin \frac{\pi}{12} < \sin \frac{\pi}{6}$. --- **б)** Сравним $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{5}$ и $\operatorname{ctg} \frac{2\pi}{5}$. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ монотонно убывает на интервале $(0; \pi)$. Оба аргумента принадлежат данному интервалу: $$ 0 < \frac{\pi}{5} < \frac{2\pi}{5} < \pi $$ Так как большему значению аргумента из промежутка убывания соответствует меньшее значение функции, получаем: $$ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} > \operatorname{ctg} \frac{2\pi}{5} $$ **Ответ:** $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} > \operatorname{ctg} \frac{2\pi}{5}$. --- ### 2. Дана функция: $$ y = 0,5 \cos x - 1 $$ Так как коэффициент перед косинусом положителен ($0,5 > 0$), промежутки возрастания и убывания, а также характер точек экстремума совпадают с поведением функции $y = \cos x$. 1. **Промежутки монотонности:** * Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезках $[-\pi + 2\pi k; 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, функция $y = 0,5 \cos x - 1$ возрастает на отрезках $[-\pi + 2\pi k; 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$. * Функция $y = \cos x$ убывает на отрезках $[2\pi k; \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, функция $y = 0,5 \cos x - 1$ убывает на отрезках $[2\pi k; \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$. 2. **Точки экстремума:** * Функция достигает максимума в тех же точках, что и $\cos x$: $$ x_{\text{max}} = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ * Функция достигает минимума в тех же точках, что и $\cos x$: $$ x_{\text{min}} = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3. **Экстремумы функции:** * Максимум: $$ y_{\text{max}} = 0,5 \cdot \cos(2\pi k) - 1 = 0,5 \cdot 1 - 1 = -0,5 $$ * Минимум: $$ y_{\text{min}} = 0,5 \cdot \cos(\pi + 2\pi k) - 1 = 0,5 \cdot (-1) - 1 = -1,5 $$ **Ответ:** * Промежутки возрастания: $[-\pi + 2\pi k; 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$; * Промежутки убывания: $[2\pi k; \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$; * Точки максимума: $x_{\text{max}} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; * Точки минимума: $x_{\text{min}} = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; * Максимум функции: $y_{\text{max}} = -0,5$; * Минимум функции: $y_{\text{min}} = -1,5$. --- ### 3. По условию точка $(x_0; y_0)$ является точкой минимума функции $y = f(x)$, то есть в точке $x = x_0$ достигается значение $f(x_0) = y_0$, и для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство: $$ f(x) \ge y_0 $$ Рассмотрим новую функцию $g(x) = -f(x) - 2$. Умножим неравенство $f(x) \ge y_0$ на $-1$ (при этом знак неравенства меняется на противоположный): $$ -f(x) \le -y_0 $$ Вычтем из обеих частей неравенства число $2$: $$ -f(x) - 2 \le -y_0 - 2 $$ То есть для всех $x$ из окрестности точки $x_0$ справедливо неравенство: $$ g(x) \le g(x_0), \quad \text{где } g(x_0) = -y_0 - 2 $$ По определению точки максимума это означает, что $x = x_0$ является точкой максимума функции $g(x)$, а её наибольшее локальное значение (максимум) равно $-y_0 - 2$. **Ответ:** точка максимума: $x = x_0$; максимум функции: $-y_0 - 2$ (точка экстремума на графике имеет координаты $(x_0; -y_0 - 2)$).