ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 8

Дано квадратное уравнение: $$ 5x^2 + 2kx + 5 = 0 $$ Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = 2k$, $c = 5$. Чтобы квадратное уравнение имело два различных положительных корня ($x_1 > 0$, $x_2 > 0$), необходимо и достаточно выполнение системы условий: 1. Дискриминант уравнения строго положителен ($D > 0$ или $D_1 = \frac{D}{4} > 0$), чтобы уравнение имело два различных действительных корня. 2. Произведение корней положительно ($x_1 x_2 > 0$), то есть корни одного знака. 3. Сумма корней положительна ($x_1 + x_2 > 0$), что вместе с условием $x_1 x_2 > 0$ гарантирует, что оба корня положительны. По теореме Виета: $$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2k}{5} $$ $$ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{5} = 1 $$ Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{D}{4} = k^2 - 5 \cdot 5 > 0 \\ -\frac{2k}{5} > 0 \\ 1 > 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1. $k^2 - 25 > 0 \iff (k - 5)(k + 5) > 0 \iff k \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$. 2. $-\frac{2k}{5} > 0 \iff k < 0$. 3. Неравенство $1 > 0$ выполняется при любых значениях $k$. Найдём пересечение полученных промежутков: $$ \begin{cases} k \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty) \\ k < 0 \end{cases} \implies k \in (-\infty; -5) $$ Таким образом, уравнение имеет два положительных корня при $k < -5$. Целыми отрицательными значениями из этого промежутка являются числа: $$ -6, -7, -8, \dots $$ Наибольшим среди них является число $-6$. Ответ: $-6$.