ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 9

Разложим знаменатели дробей на множители: $$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$ $$ x^2 + 2x = x(x + 2) $$ $$ x^2 - 2x = x(x - 2) $$ Перепишем исходное уравнение в виде: $$ \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x - 4}{x(x + 2)} = \frac{1}{x(x - 2)} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны обращаться в нуль: $$ \begin{cases} x \neq 0, \\ x - 2 \neq 0, \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 0, \\ x \neq 2, \\ x \neq -2 \end{cases} $$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем их к общему знаменателю $x(x - 2)(x + 2)$: $$ \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x - 4}{x(x + 2)} - \frac{1}{x(x - 2)} = 0 $$ $$ \frac{2x + (x - 4)(x - 2) - 1 \cdot (x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ 2x + (x^2 - 2x - 4x + 8) - (x + 2) = 0 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 2x + x^2 - 6x + 8 - x - 2 = 0 $$ $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 3 $$ Проверим найденные корни по ОДЗ: 1) Значение $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), следовательно, является посторонним корнем. 2) Значение $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $x = 3$.