ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 5

Дано квадратное уравнение: $$ 3x^2 - 2kx - k + 6 = 0 $$ Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -2k$, $c = -k + 6$. Так как старший коэффициент $a = 3 \neq 0$, уравнение является квадратным при любых значениях $k$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант строго меньше нуля ($D < 0$). Вычислим четверть дискриминанта ($D_1$): $$ D_1 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac $$ $$ D_1 = (-k)^2 - 3 \cdot (-k + 6) = k^2 + 3k - 18 $$ Составим и решим неравенство $D_1 < 0$: $$ k^2 + 3k - 18 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $k^2 + 3k - 18 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} k_1 + k_2 = -3 \\ k_1 \cdot k_2 = -18 \end{cases} \implies k_1 = -6, \quad k_2 = 3 $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (k + 6)(k - 3) < 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем: $$ -6 < k < 3 $$ Ответ: $-6 < k < 3$ (или $k \in (-6; 3)$).