ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 25

1) Решим уравнение: $$ 4 \cos^2 x = 2 - 23 \sin x - 3 \cos 2x $$ Выразим все тригонометрические функции через $\sin x$, используя формулы $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ 4(1 - \sin^2 x) = 2 - 23 \sin x - 3(1 - 2\sin^2 x) $$ Раскроем скобки: $$ 4 - 4 \sin^2 x = 2 - 23 \sin x - 3 + 6 \sin^2 x $$ $$ 4 - 4 \sin^2 x = -1 - 23 \sin x + 6 \sin^2 x $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 10 \sin^2 x - 23 \sin x - 5 = 0 $$ Пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 10t^2 - 23t - 5 = 0 $$ $$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-5) = 529 + 200 = 729 = 27^2 $$ $$ t_1 = \frac{23 + 27}{20} = \frac{50}{20} = 2{,}5 $$ Значение $t_1 = 2{,}5$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. $$ t_2 = \frac{23 - 27}{20} = -\frac{4}{20} = -\frac{1}{5} $$ Возвращаемся к переменной $x$: $$ \sin x = -\frac{1}{5} $$ Серии решений данного уравнения: 1. $x = -\arcsin \frac{1}{5} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2. $x = \pi - \left(-\arcsin \frac{1}{5}\right) + 2\pi k = \pi + \arcsin \frac{1}{5} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ Так как $0 < \arcsin \frac{1}{5} < \frac{\pi}{2}$, найдем первые положительные значения $x$ в каждой серии: * для первой серии при $k = 0$ значение $x = -\arcsin \frac{1}{5} < 0$, а при $k = 1$ значение $x = 2\pi - \arcsin \frac{1}{5} > 0$; * для второй серии уже при $k = 0$ значение $x = \pi + \arcsin \frac{1}{5} > 0$. Сравним полученные положительные корни: $$ \pi + \arcsin \frac{1}{5} < 2\pi - \arcsin \frac{1}{5} $$ Следовательно, наименьшим положительным корнем является $x = \pi + \arcsin \frac{1}{5}$. **Ответ к п. 1:** $\pi + \arcsin \frac{1}{5}$ --- 2) Решим уравнение: $$ 2(1 + \sin^2 x) = 2 \cos 2x - 5 \cos x $$ Выразим функции через $\cos x$, используя формулы $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ и $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$ 2(1 + 1 - \cos^2 x) = 2(2\cos^2 x - 1) - 5 \cos x $$ $$ 2(2 - \cos^2 x) = 4\cos^2 x - 2 - 5 \cos x $$ $$ 4 - 2\cos^2 x = 4\cos^2 x - 5 \cos x - 2 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 6\cos^2 x - 5 \cos x - 6 = 0 $$ Пусть $y = \cos x$, где $-1 \le y \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 6y^2 - 5y - 6 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $$ $$ y_1 = \frac{5 + 13}{12} = \frac{18}{12} = 1{,}5 $$ Значение $y_1 = 1{,}5$ не удовлетворяет условию $|y| \le 1$. $$ y_2 = \frac{5 - 13}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3} $$ Возвращаемся к переменной $x$: $$ \cos x = -\frac{2}{3} $$ Общее решение уравнения: $$ x = \pm \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ По определению арккосинуса $\arccos\left(-\frac{2}{3}\right) \in (0; \pi)$, то есть это положительное число. При $k = 0$ получаем положительный корень $x_1 = \arccos\left(-\frac{2}{3}\right)$ и отрицательный корень $x_2 = -\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)$. Все остальные корни при $k \ge 1$ превосходят $2\pi - \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) > \pi > \arccos\left(-\frac{2}{3}\right)$. Следовательно, наименьшим положительным корнем является $x = \arccos\left(-\frac{2}{3}\right)$. **Ответ к п. 2:** $\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)$