ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 3

1. Преобразуем исходное уравнение с помощью тригонометрических формул: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Подставим эти выражения в уравнение: $$ 0,5 \cdot (2 \sin x \cos x) + \cos^2 x = 4(\cos^2 x - \sin^2 x) $$ $$ \sin x \cos x + \cos^2 x = 4\cos^2 x - 4\sin^2 x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $$ 4\sin^2 x + \sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 $$ Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $4\sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ 4\tg^2 x + \tg x - 3 = 0 $$ Пусть $t = \tg x$. Получаем квадратное уравнение: $$ 4t^2 + t - 3 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1 $$ Возвращаемся к замене: 1) $\tg x = -1$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $\tg x = \frac{3}{4}$ $$ x = \arctg \frac{3}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2. Решим неравенство $\pi x - x^2 > 0$: $$ x(\pi - x) > 0 \iff x(x - \pi) < 0 $$ Отсюда получаем интервал: $$ x \in (0; \pi) $$ Найдем корень уравнения, принадлежащий данному интервалу: Для серии решений $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ при $n = 1$: $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} $$ Так как $0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$, значение $x = \frac{3\pi}{4}$ удовлетворяет неравенству. Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $x = \arctg \frac{3}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; неравенству удовлетворяет, например, решение $\frac{3\pi}{4}$.