ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / КР-6 / вариант 2 - 3

1) Решим уравнение: $$ \sin^2 x - \sin x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$ \sin x (\sin x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $\sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; 2. $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 2) Решим уравнение: $$ 10 \cos^2 x + 3 \cos x = 1 $$ Перенесём слагаемое $1$ в левую часть: $$ 10 \cos^2 x + 3 \cos x - 1 = 0 $$ Пусть $t = \cos x$, причём $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 10t^2 + 3t - 1 = 0 $$ Найдём дискриминант: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{-3 + 7}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $$ $$ t_2 = \frac{-3 - 7}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернёмся к переменной $x$: 1. $\cos x = \frac{1}{5} \implies x = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; 2. $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x = \pm \arccos \frac{1}{5} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 3) Решим уравнение: $$ 5 \sin x + \cos x = 5 $$ Применим формулы двойного аргумента для половинного угла: $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$, $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$, а правую часть представим через основное тригонометрическое тождество $5 = 5\left(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}\right)$: $$ 10 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = 5 \cos^2 \frac{x}{2} + 5 \sin^2 \frac{x}{2} $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные: $$ -6 \sin^2 \frac{x}{2} + 10 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 4 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $-2$: $$ 3 \sin^2 \frac{x}{2} - 5 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 $$ Если $\cos \frac{x}{2} = 0$, то из уравнения следует $3 \sin^2 \frac{x}{2} = 0$, что невозможно, так как $\sin \frac{x}{2}$ и $\cos \frac{x}{2}$ не могут одновременно равняться нулю. Значит, разделим обе части на $\cos^2 \frac{x}{2} \neq 0$: $$ 3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} - 5 \operatorname{tg} \frac{x}{2} + 2 = 0 $$ Сделаем замену переменной $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$: $$ 3u^2 - 5u + 2 = 0 $$ Дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $$ $$ u_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1, \quad u_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3} $$ Перейдём к обратной замене: 1. $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; 2. $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{2}{3} \implies \frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n \implies x = 2\operatorname{arctg} \frac{2}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = 2\operatorname{arctg} \frac{2}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 4) Решим уравнение: $$ \sin^4 x + \cos^4 x = \sin^2 2x - \frac{1}{2} $$ Преобразуем выражение в левой части уравнения: $$ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x $$ Используя тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, получаем: $$ \sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \sin^2 2x - \frac{1}{2} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \sin^2 2x + \frac{1}{2} \sin^2 2x = 1 + \frac{1}{2} $$ $$ \frac{3}{2} \sin^2 2x = \frac{3}{2} $$ $$ \sin^2 2x = 1 $$ Так как $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$, равенство $\sin^2 2x = 1$ равносильно: $$ \cos^2 2x = 0 \iff \cos 2x = 0 $$ Отсюда: $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.