ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 24

1) Решим уравнение: $$ \cos^6 x - \sin^6 x = 2\cos^2 2x $$ Разложим левую часть уравнения как разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \cos^2 x$, $b = \sin^2 x$: $$ \cos^6 x - \sin^6 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) $$ Применим формулы двойного угла и основного тригонометрического тождества: $$ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x $$ $$ \cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x $$ Тогда выражение во второй скобке принимает вид: $$ \cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{4}\sin^2 2x $$ Выразим $\sin^2 2x$ через $\cos^2 2x$: $$ 1 - \frac{1}{4}\sin^2 2x = 1 - \frac{1}{4}(1 - \cos^2 2x) = \frac{3 + \cos^2 2x}{4} $$ Подставим полученное разложение в исходное уравнение: $$ \cos 2x \cdot \frac{3 + \cos^2 2x}{4} = 2\cos^2 2x $$ Умножим обе части уравнения на 4 и перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ \cos 2x (3 + \cos^2 2x) - 8\cos^2 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки: $$ \cos 2x (\cos^2 2x - 8\cos 2x + 3) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $\cos 2x = 0$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2. $\cos^2 2x - 8\cos 2x + 3 = 0$ Пусть $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 8t + 3 = 0 $$ $$ D_1 = (-4)^2 - 1 \cdot 3 = 16 - 3 = 13 $$ $$ t = 4 \pm \sqrt{13} $$ Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то: - $t_1 = 4 + \sqrt{13} > 1$ — не удовлетворяет условию $|t| \le 1$; - $t_2 = 4 - \sqrt{13} \in [-1; 1]$ — корень подходит. Возвращаемся к замене: $$ \cos 2x = 4 - \sqrt{13} $$ $$ 2x = \pm \arccos(4 - \sqrt{13}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{1}{2}\arccos(4 - \sqrt{13}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ к пункту 1: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z}; \ x = \pm \frac{1}{2}\arccos(4 - \sqrt{13}) + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$. --- 2) Решим уравнение: $$ \sin^6 x - \cos^6 x + 1 = 2(\sin^4 x + \cos^4 x) $$ Преобразуем правую часть уравнения: $$ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $$ Выразим через $\cos 2x$: $$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = 1 - \frac{1}{2}(1 - \cos^2 2x) = \frac{1 + \cos^2 2x}{2} $$ Тогда правая часть равна: $$ 2(\sin^4 x + \cos^4 x) = 2 \cdot \frac{1 + \cos^2 2x}{2} = 1 + \cos^2 2x $$ Преобразуем разность шестых степеней в левой части уравнения аналогично пункту 1: $$ \sin^6 x - \cos^6 x = -(\cos^6 x - \sin^6 x) = -(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) $$ $$ \sin^6 x - \cos^6 x = -\cos 2x \left(1 - \frac{1}{4}\sin^2 2x\right) = -\cos 2x \cdot \frac{3 + \cos^2 2x}{4} $$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ -\cos 2x \cdot \frac{3 + \cos^2 2x}{4} + 1 = 1 + \cos^2 2x $$ Вычтем 1 из обеих частей: $$ -\frac{\cos 2x (3 + \cos^2 2x)}{4} = \cos^2 2x $$ Умножим на $-4$ и перенесем все слагаемые вправо: $$ 4\cos^2 2x + \cos 2x (3 + \cos^2 2x) = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 2x$: $$ \cos 2x (4\cos 2x + 3 + \cos^2 2x) = 0 $$ $$ \cos 2x (\cos^2 2x + 4\cos 2x + 3) = 0 $$ Разложим квадратный трехчлен на множители по теореме Виета: $\cos^2 2x + 4\cos 2x + 3 = (\cos 2x + 1)(\cos 2x + 3)$. $$ \cos 2x (\cos 2x + 1)(\cos 2x + 3) = 0 $$ Рассмотрим возможные случаи: 1. $\cos 2x = 0$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2. $\cos 2x + 1 = 0 \iff \cos 2x = -1$ $$ 2x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 3. $\cos 2x + 3 = 0 \iff \cos 2x = -3$ — уравнение не имеет действительных корней, так как $|\cos 2x| \le 1$. Ответ к пункту 2: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z}; \ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$.