ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 23

1) $\sin^4 2x + \cos^4 2x = \sin 2x \cos 2x$ Преобразуем выражение в левой части уравнения, выделив полный квадрат: $$ \sin^4 2x + \cos^4 2x = (\sin^2 2x + \cos^2 2x)^2 - 2\sin^2 2x \cos^2 2x $$ Так как $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$ и $2\sin 2x \cos 2x = \sin 4x$, получаем: $$ \sin^4 2x + \cos^4 2x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 4x $$ Правую часть уравнения запишем с помощью формулы синуса двойного угла: $$ \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x $$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 4x = \frac{1}{2}\sin 4x $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ 2 - \sin^2 4x = \sin 4x $$ $$ \sin^2 4x + \sin 4x - 2 = 0 $$ Пусть $t = \sin 4x$, где $-1 \leqslant t \leqslant 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 + t - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$. Значение $t = -2$ не удовлетворяет условию $-1 \leqslant t \leqslant 1$, поэтому корней не даёт. Возвращаемся к замене: $$ \sin 4x = 1 $$ $$ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- 2) $\sin^4 x + \cos^4 x = \cos^2 2x + \frac{1}{4}$ Преобразуем левую часть уравнения: $$ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $$ Выразим $\sin^2 2x$ через $\cos^2 2x$, используя тождество $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$: $$ 1 - \frac{1}{2}(1 - \cos^2 2x) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos^2 2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos^2 2x $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos^2 2x = \cos^2 2x + \frac{1}{4} $$ Перенесём слагаемые с переменной в правую часть, а числовые — в левую: $$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \cos^2 2x - \frac{1}{2}\cos^2 2x $$ $$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\cos^2 2x $$ $$ \cos^2 2x = \frac{1}{2} $$ Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$: $$ \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} $$ $$ 1 + \cos 4x = 1 $$ $$ \cos 4x = 0 $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$.