ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 20

Решим тригонометрическое уравнение (пункт 8 задания № 20): $$ \sin x \sin 5x \sin 9x = 1 $$ Так как для любого действительного значения аргумента синус ограничен по модулю единицей, то есть $|\sin t| \le 1$, имеем: $$ |\sin x| \le 1, \quad |\sin 5x| \le 1, \quad |\sin 9x| \le 1 $$ Отсюда следует оценка для произведения: $$ |\sin x \sin 5x \sin 9x| = |\sin x| \cdot |\sin 5x| \cdot |\sin 9x| \le 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $$ Равенство $\sin x \sin 5x \sin 9x = 1$ возможно тогда и только тогда, когда каждый из множителей по модулю равен $1$, а их произведение положительно. Если $|\sin x| < 1$, то: $$ |\sin x \sin 5x \sin 9x| \le |\sin x| \cdot 1 \cdot 1 < 1 $$ Значит, решений при $|\sin x| < 1$ нет. Обязательно должно выполняться условие $|\sin x| = 1$. Рассмотрим два возможных случая. 1. Пусть $\sin x = 1$. Тогда: $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Подставим найденные значения $x$ в остальные множители: $$ \sin 5x = \sin\left(5\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 10\pi n\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + 10\pi n\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$ $$ \sin 9x = \sin\left(9\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)\right) = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + 18\pi n\right) = \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{2} + 18\pi n\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$ Проверим левую часть исходного уравнения: $$ \sin x \sin 5x \sin 9x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $$ Равенство верно, следовательно, серия $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения. 2. Пусть $\sin x = -1$. Тогда: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим эти значения в остальные множители: $$ \sin 5x = \sin\left(5\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\right) = \sin\left(-\frac{5\pi}{2} + 10\pi k\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $$ $$ \sin 9x = \sin\left(9\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\right) = \sin\left(-\frac{9\pi}{2} + 18\pi k\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $$ Проверим левую часть уравнения: $$ \sin x \sin 5x \sin 9x = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1 \neq 1 $$ В этом случае решений нет. Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.