ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 37 / вариант 2 - 4

### Задание 4 (пункт 7) Решим тригонометрическое неравенство: $$ \sin x > \cos^2 x $$ 1. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$ \sin x > 1 - \sin^2 x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства: $$ \sin^2 x + \sin x - 1 > 0 $$ 2. Введём новую переменную. Пусть $t = \sin x$. Так как значение синуса ограничено, то $-1 \le t \le 1$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 + t - 1 > 0 $$ 3. Найдём корни квадратного трёхчлена $t^2 + t - 1 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 $$ $$ t_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \quad t_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при $t^2$ равен $1 > 0$), неравенство $t^2 + t - 1 > 0$ выполняется при: $$ t < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{или} \quad t > \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $$ 4. Вернёмся к переменной $x$: $$ \sin x < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{или} \quad \sin x > \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $$ * Оценим первое значение: так как $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, то: $$ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3{,}24}{2} = -1{,}62 < -1 $$ Поскольку для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо $\sin x \ge -1$, неравенство $\sin x < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ решений не имеет. * Оценим второе значение: $$ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx \frac{1{,}24}{2} = 0{,}62 \in (-1; 1) $$ Решим простейшее тригонометрическое неравенство: $$ \sin x > \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $$ По единичной окружности решением неравенства вида $\sin x > a$ при $|a| < 1$ является множество точек дуги окружности: $$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) + 2\pi k < x < \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ --- *Примечание.* Если в условии число $7$ является коэффициентом при $\sin x$, то есть решается неравенство $7 \sin x > \cos^2 x$: $$ \sin^2 x + 7\sin x - 1 > 0 $$ Корни трёхчлена $t^2 + 7t - 1 = 0$: $t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{53}}{2}$. Неравенство $t < \frac{-7 - \sqrt{53}}{2}$ решений не имеет (так как корень меньше $-1$), а из $t > \frac{\sqrt{53} - 7}{2}$ получаем: $$ x \in \left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{53} - 7}{2}\right) + 2\pi k; \, \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{53} - 7}{2}\right) + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ --- Ответ: $x \in \left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) + 2\pi k; \, \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$.