ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 4

Решим тригонометрическое уравнение: $$ 3\cos^2 x + \cos x - 4 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$, на переменную $t$ накладывается ограничение: $$ -1 \le t \le 1 $$ Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ 3t^2 + t - 4 = 0 $$ Найдем дискриминант уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $$ Вычислим корни: $$ t_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} $$ Проверим найденные значения по условию $-1 \le t \le 1$: 1) Корень $t_2 = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $-\frac{4}{3} < -1$. Уравнение $\cos x = -\frac{4}{3}$ действительных корней не имеет. 2) Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию. Вернемся к исходной переменной: $$ \cos x = 1 $$ Используя формулу для частного случая простейшего тригонометрического уравнения, получаем: $$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$.