ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 1

$2\cos^2 x = 1$ Данное уравнение является неполным квадратным уравнением относительно $\cos x$. Перенесем слагаемые в левую часть: $$ 2\cos^2 x - 1 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - 1 = 0 $$ $$ t^2 = \frac{1}{2} $$ $$ t = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену: 1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $$ x = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $$ x = \pm\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Объединяя найденные решения на тригонометрической окружности, получаем общую формулу корней: $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.