ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 6

Символ $\boxed{3}$ перед уравнением указывает на уровень сложности задания. Решим уравнение: $$ \tg^2 x - 5 = 4 \tg x $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Функция $\tg x$ определена при всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$: $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **2. Решение уравнения:** Перенесём слагаемое $4 \tg x$ в левую часть уравнения: $$ \tg^2 x - 4 \tg x - 5 = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $t = \tg x$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - 4t - 5 = 0 $$ Найдём корни уравнения по теореме Виета или через дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $$ $$ t_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 $$ $$ t_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 $$ **3. Обратная замена:** 1) При $t = -1$: $$ \tg x = -1 $$ $$ x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) При $t = 5$: $$ \tg x = 5 $$ $$ x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Все полученные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.