ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 33 / вариант 2 - 23

23. [3] Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = -1 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = -\frac{1}{2} $$ Используем формулу корней уравнения $\cos t = a$: $t = \pm \arccos a + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Вычислим значение арккосинуса: $$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$ Тогда: $$ \frac{\pi}{6} + x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Выразим $x$: $$ x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим два случая: 1) Со знаком «плюс»: $$ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) Со знаком «минус»: $$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.