ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 1 - 16

16. Для упрощения выражения применим формулу синуса двойного угла: $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$ Возведя обе части в квадрат, получим: $$(2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = \sin^2 2\alpha$$ $$4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 2\alpha$$ Подставим полученное выражение в исходное: $$3 \cos^2 2\alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 3 \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha$$ Разложим слагаемое $3 \cos^2 2\alpha$ на сумму $2 \cos^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha$ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1$: $$3 \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 2 \cos^2 2\alpha + (\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha) = 2 \cos^2 2\alpha + 1$$ По формуле косинуса двойного угла $\cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1$, откуда $2 \cos^2 2\alpha = 1 + \cos 4\alpha$: $$2 \cos^2 2\alpha + 1 = 1 + \cos 4\alpha + 1 = 2 + \cos 4\alpha$$ Ответ: $2 + \cos 4\alpha$ (или $1 + 2 \cos^2 2\alpha$).