ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 1 - 18

Упростим тригонометрическое выражение: $$ \sin 2\alpha (1 + \operatorname{tg}^2\alpha) $$ 1. Используем формулу синуса двойного угла: $$ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $$ 2. Используем тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус (при условии $\cos\alpha \neq 0$, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$): $$ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $$ 3. Подставим эти формулы в исходное выражение: $$ \sin 2\alpha (1 + \operatorname{tg}^2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} $$ 4. Сократим дробь на $\cos\alpha$: $$ \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\operatorname{tg}\alpha $$ Ответ: $2\operatorname{tg}\alpha$