ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 1 - 4

4. В данном задании (дидактические материалы, § 28, вариант 1, № 2, пункт 2) цифра 2 перед тригонометрической функцией обозначает номер подпункта. Требуется найти значение выражения: $$ \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{4\pi}{9} \sin \frac{5\pi}{18} $$ Для вычисления воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$ В данном выражении $\alpha = \frac{4\pi}{9}$ и $\beta = \frac{5\pi}{18}$. Найдем разность аргументов, приведя дроби к общему знаменателю $18$: $$ \alpha - \beta = \frac{4\pi}{9} - \frac{5\pi}{18} = \frac{8\pi}{18} - \frac{5\pi}{18} = \frac{3\pi}{18} = \frac{\pi}{6} $$ Подставим полученный результат в формулу сложения: $$ \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{4\pi}{9} \sin \frac{5\pi}{18} = \cos\left(\frac{4\pi}{9} - \frac{5\pi}{18}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$