ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 26 / вариант 1 - 11

11. Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2 \sin^2 2x - 1 = \cos 2x (1 - 2 \cos 2x) $$ Раскроем скобки в правой части уравнения: $$ 2 \sin^2 2x - 1 = \cos 2x - 2 \cos^2 2x $$ Перенесем слагаемые, содержащие тригонометрические функции, в левую часть, а число $-1$ — в правую часть: $$ 2 \sin^2 2x + 2 \cos^2 2x - \cos 2x = 1 $$ Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $$ 2(\sin^2 2x + \cos^2 2x) - \cos 2x = 1 $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ 2 \cdot 1 - \cos 2x = 1 $$ $$ 2 - \cos 2x = 1 $$ $$ -\cos 2x = 1 - 2 $$ $$ -\cos 2x = -1 $$ $$ \cos 2x = 1 $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение для косинуса: $$ 2x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части равенства на $2$: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.