ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / уравнения и неравенства / вариант 2 - 7

7. 6) Решим уравнение: $$ |x^2 - 5x - 2| = x^2 - 1 $$ Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно смешанной системе: $$ \begin{cases} x^2 - 1 \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 5x - 2 = x^2 - 1, \\ x^2 - 5x - 2 = -(x^2 - 1). \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Решим первое уравнение совокупности: $$ x^2 - 5x - 2 = x^2 - 1 $$ $$ -5x - 2 = -1 $$ $$ -5x = 1 $$ $$ x = -0{,}2 $$ Проверим условие неотрицательности правой части $x^2 - 1 \ge 0$: $$ (-0{,}2)^2 - 1 = 0{,}04 - 1 = -0{,}96 < 0 $$ Значит, $x = -0{,}2$ не является корнем исходного уравнения. Решим второе уравнение совокупности: $$ x^2 - 5x - 2 = -(x^2 - 1) $$ $$ x^2 - 5x - 2 = -x^2 + 1 $$ $$ 2x^2 - 5x - 3 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $$ Проверим условие $x^2 - 1 \ge 0$ для найденных значений: 1. При $x = -0{,}5$: $$ (-0{,}5)^2 - 1 = 0{,}25 - 1 = -0{,}75 < 0 $$ Следовательно, $x = -0{,}5$ — посторонний корень. 2. При $x = 3$: $$ 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \ge 0 $$ Значение $x = 3$ удовлетворяет условию. Ответ: $3$.