ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / задание для интересующихся математикой - 5

1) Докажем равенство: $$ \frac{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma)}{\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos(\alpha + \beta + \gamma)} = \operatorname{tg} \frac{\alpha + \beta}{2} \operatorname{tg} \frac{\beta + \gamma}{2} \operatorname{tg} \frac{\gamma + \alpha}{2} $$ Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части. Сгруппируем слагаемые в числителе: $$ (\sin \alpha + \sin \beta) - (\sin(\alpha + \beta + \gamma) - \sin \gamma) $$ Применим формулы суммы и разности синусов: - $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ - $\sin(\alpha + \beta + \gamma) - \sin \gamma = 2 \sin \frac{(\alpha + \beta + \gamma) - \gamma}{2} \cos \frac{(\alpha + \beta + \gamma) + \gamma}{2} = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}$ Подставим полученные выражения в числитель и вынесем общий множитель: $$ 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \left( \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \right) $$ Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{y - x}{2}$: $$ \frac{x + y}{2} = \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}}{2} = \frac{2\alpha + 2\gamma}{4} = \frac{\alpha + \gamma}{2} $$ $$ \frac{y - x}{2} = \frac{\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2}}{2} = \frac{2\beta + 2\gamma}{4} = \frac{\beta + \gamma}{2} $$ Тогда числитель равен: $$ 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot 2 \sin \frac{\alpha + \gamma}{2} \sin \frac{\beta + \gamma}{2} = 4 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \sin \frac{\gamma + \alpha}{2} $$ Сгруппируем слагаемые в знаменателе: $$ (\cos \alpha + \cos \beta) + (\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos \gamma) $$ Применим формулу суммы косинусов: - $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ - $\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos \gamma = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left( \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \right) $$ Используем формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$: $$ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} = 2 \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \left( - \frac{\beta + \gamma}{2} \right) = 2 \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} $$ Тогда знаменатель равен: $$ 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot 2 \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} = 4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\gamma + \alpha}{2} $$ Подставим полученные результаты для числителя и знаменателя в исходную дробь: $$ \frac{4 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \sin \frac{\gamma + \alpha}{2}}{4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\gamma + \alpha}{2}} = \frac{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}} \cdot \frac{\sin \frac{\beta + \gamma}{2}}{\cos \frac{\beta + \gamma}{2}} \cdot \frac{\sin \frac{\gamma + \alpha}{2}}{\cos \frac{\gamma + \alpha}{2}} = \operatorname{tg} \frac{\alpha + \beta}{2} \operatorname{tg} \frac{\beta + \gamma}{2} \operatorname{tg} \frac{\gamma + \alpha}{2} $$ Равенство доказано. --- 2) Докажем равенство: $$ \operatorname{tg}(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta - \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma - \operatorname{tg} \gamma \operatorname{tg} \alpha} $$ Представим аргумент суммы трех углов как сумму двух слагаемых: $(\alpha + \beta) + \gamma$. Воспользуемся формулой тангенса суммы: $$ \operatorname{tg}((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\operatorname{tg}(\alpha + \beta) + \operatorname{tg} \gamma}{1 - \operatorname{tg}(\alpha + \beta) \operatorname{tg} \gamma} $$ Применим формулу тангенса суммы для $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$: $$ \operatorname{tg}(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} + \operatorname{tg} \gamma}{1 - \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \cdot \operatorname{tg} \gamma} $$ Приведем к общему знаменателю $(1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta)$ числитель и знаменатель полученной составной дроби: - Числитель: $$ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma(1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta)}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $$ - Знаменатель: $$ \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta - (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta)\operatorname{tg} \gamma}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta - \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma - \operatorname{tg} \gamma \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $$ Разделим числитель на знаменатель (общий знаменатель $(1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta)$ сократится): $$ \operatorname{tg}(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta - \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma - \operatorname{tg} \gamma \operatorname{tg} \alpha} $$ Равенство доказано.