ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / задание для интересующихся математикой - 6

**1)** Докажем тождество: $$ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} $$ Так как по условию $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то: $$ \alpha + \beta = \pi - \gamma \implies \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} $$ По формулам приведения: $$ \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos \frac{\gamma}{2} $$ $$ \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin \frac{\gamma}{2} $$ Преобразуем левую часть равенства, применив формулу суммы синусов к первым двум слагаемым и формулу синуса двойного угла к третьему: $$ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} $$ Подставим $\sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\gamma}{2}$: $$ 2 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left( \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \sin \frac{\gamma}{2} \right) $$ Заменим $\sin \frac{\gamma}{2}$ на $\cos \frac{\alpha + \beta}{2}$: $$ 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left( \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \right) $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$: $$ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = 2 \cos \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{\alpha + \beta}{2}}{2} \cos \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}}{2} = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} $$ Подставим результат в выражение: $$ 2 \cos \frac{\gamma}{2} \cdot 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} $$ Получили правую часть. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $$ Так как $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то $\alpha + \beta = \pi - \gamma$ и $\gamma = \pi - (\alpha + \beta)$. По формулам приведения: $$ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin \gamma $$ $$ \cos \gamma = \cos(\pi - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha + \beta) $$ Преобразуем левую часть равенства, применив формулу суммы синусов к первым двум слагаемым: $$ \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 2 \sin \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha - 2\beta}{2} + \sin 2\gamma = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma $$ Так как $\sin(\alpha + \beta) = \sin \gamma$, вынесем общий множитель $2 \sin \gamma$ за скобки: $$ 2 \sin \gamma \cos(\alpha - \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma = 2 \sin \gamma (\cos(\alpha - \beta) + \cos \gamma) $$ Подставим $\cos \gamma = -\cos(\alpha + \beta)$: $$ 2 \sin \gamma (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $$ Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$: $$ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2 \sin \frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2} \sin \frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2} = -2 \sin \alpha \sin(-\beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta $$ Подставим полученное произведение обратно в выражение: $$ 2 \sin \gamma \cdot 2 \sin \alpha \sin \beta = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $$ Получили правую часть. Тождество доказано.