ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / задание для интересующихся математикой - 2

**1)** Вычислим значение $\sin 5\alpha$, если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Выразим $\sin 5\alpha$ через $\sin \alpha$, используя формулы синуса и косинуса суммы, а также формулы двойного и тройного углов: $$ \sin 5\alpha = \sin(3\alpha + 2\alpha) = \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha \sin 2\alpha $$ Применим формулы: * $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$; * $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$; * $\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha = \cos \alpha (4\cos^2 \alpha - 3) = \cos \alpha (1 - 4\sin^2 \alpha)$; * $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$. Преобразуем каждое слагаемое: $$ \sin 3\alpha \cos 2\alpha = (3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha)(1 - 2\sin^2 \alpha) = 3\sin \alpha - 10\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha $$ $$ \cos 3\alpha \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos^2 \alpha (1 - 4\sin^2 \alpha) = 2\sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha)(1 - 4\sin^2 \alpha) = 2\sin \alpha - 10\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha $$ Сложим полученные выражения: $$ \sin 5\alpha = (3\sin \alpha - 10\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha) + (2\sin \alpha - 10\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha) = 5\sin \alpha - 20\sin^3 \alpha + 16\sin^5 \alpha $$ Вынесем $\sin \alpha$ за скобки: $$ \sin 5\alpha = \sin \alpha (5 - 20\sin^2 \alpha + 16\sin^4 \alpha) $$ Так как $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}$, найдем степени $\sin \alpha$: $$ \sin^2 \alpha = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{3}{16} $$ $$ \sin^4 \alpha = \left(\frac{3}{16}\right)^2 = \frac{9}{256} $$ Подставим эти значения в выражение в скобках: $$ 5 - 20\sin^2 \alpha + 16\sin^4 \alpha = 5 - 20 \cdot \frac{3}{16} + 16 \cdot \frac{9}{256} = 5 - \frac{15}{4} + \frac{9}{16} = \frac{80 - 60 + 9}{16} = \frac{29}{16} $$ Тогда: $$ \sin 5\alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{29}{16} = \frac{29\sqrt{3}}{64} $$ *(Примечание: в ответах некоторых изданий пособия допущена опечатка $\frac{5}{27}$.)* **Ответ к пункту 1:** $\frac{29\sqrt{3}}{64}$. --- **2)** Вычислим значение $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$, если $\sin 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Представим данное выражение как сумму кубов $(\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3$: $$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, преобразуем вторую скобку: $$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ Следовательно: $$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 \cdot (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ Так как $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$, то $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$, откуда: $$ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{\sin^2 2\alpha}{4} $$ Подставим это в формулу: $$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2\alpha $$ По условию $\sin 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$, следовательно, $\sin^2 2\alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$. Вычислим итоговое значение: $$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$ **Ответ к пункту 2:** $\frac{3}{4}$. --- **Ответ:** 1) $\frac{29\sqrt{3}}{64}$; 2) $\frac{3}{4}$.