ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / задание для интересующихся математикой - 1

1) Преобразуем выражение, применив формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$: $$ \cos \frac{5\pi}{12} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin \frac{\pi}{12} $$ Подставим полученное равенство в исходное выражение: $$ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} = \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12} = \sin^2 \frac{\pi}{12} $$ Применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$: $$ \sin^2 \frac{\pi}{12} = \frac{1 - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right)}{2} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{6}}{2} $$ Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $$ \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} $$ Ответ: $\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$. --- 2) В условии задания содержится опечатка в первом множителе: вместо $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$ должно быть $\operatorname{tg} \frac{\pi}{16}$ (что подтверждается ответом $1$). Вычислим значение выражения: $$ \operatorname{tg} \frac{\pi}{16} \operatorname{tg} \frac{\pi}{8} \operatorname{tg} \frac{3\pi}{8} \operatorname{tg} \frac{7\pi}{16} $$ Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg} \alpha$: $$ \operatorname{tg} \frac{7\pi}{16} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{16}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{16} $$ $$ \operatorname{tg} \frac{3\pi}{8} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{8} $$ Сгруппируем множители и применим основное тригонометрическое тождество $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$: $$ \left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{16} \cdot \operatorname{tg} \frac{7\pi}{16}\right) \cdot \left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{8} \cdot \operatorname{tg} \frac{3\pi}{8}\right) = \left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{16} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{16}\right) \cdot \left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{8} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{8}\right) = 1 \cdot 1 = 1 $$ Ответ: $1$.