ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / подготовка к экзамену - 6

Упростим данное выражение с помощью тригонометрических формул. 1. Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$: $$ 1 + \cos 2\alpha - \sin 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\cos \alpha (\cos \alpha - \sin \alpha) $$ 2. Преобразуем знаменатель дроби, применив формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$: $$ \cos \alpha + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha - \sin \alpha $$ 3. Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим её: $$ \frac{1 + \cos 2\alpha - \sin 2\alpha}{\cos \alpha + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = \frac{2\cos \alpha (\cos \alpha - \sin \alpha)}{\cos \alpha - \sin \alpha} = 2\cos \alpha $$ 4. Так как по условию $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$, подставим это значение: $$ 2\cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 $$ Ответ: $-1$.