ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / КР-5 / вариант 1 - 3

Упростим выражение по действиям: 1. Преобразуем числитель дроби с помощью формул приведения: * $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$; * $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$. Тогда числитель равен: $$ \cos(\pi - \alpha) + \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha + \sin\alpha = \sin\alpha - \cos\alpha $$ 2. Преобразуем знаменатель дроби, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), а также основное тригонометрическое тождество ($1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$): $$ 1 + 2\cos(-\alpha)\sin(-\alpha) = 1 + 2\cos\alpha(-\sin\alpha) = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha $$ $$ 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 $$ 3. Подставим полученные выражения обратно в дробь и выполним сокращение: $$ \frac{\cos(\pi - \alpha) + \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{1 + 2\cos(-\alpha)\sin(-\alpha)} = \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = \frac{1}{\sin\alpha - \cos\alpha} $$ Ответ: $\frac{1}{\sin\alpha - \cos\alpha}$