ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 2 - 30

Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму. В исходном задании из дидактических материалов содержится опечатка в расположении дробной черты аргумента последнего косинуса: канонический вид данного выражения — $4\cos\dfrac{\alpha}{2}\cos\alpha\cos\dfrac{5\alpha}{2}$. Для преобразования воспользуемся формулой произведения косинусов: $$ 2\cos x \cos y = \cos(x - y) + \cos(x + y) $$ 1. Сгруппируем множители, выделив произведение крайних косинусов: $$ 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\cos\frac{5\alpha}{2} = 2\cos\alpha \cdot \left(2\cos\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right) $$ 2. Применим формулу к выражению в скобках: $$ 2\cos\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \cos\left(\frac{5\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) + \cos\left(\frac{5\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) = \cos 2\alpha + \cos 3\alpha $$ 3. Подставим полученный результат и раскроем скобки: $$ 2\cos\alpha(\cos 2\alpha + \cos 3\alpha) = 2\cos 2\alpha \cos\alpha + 2\cos 3\alpha \cos\alpha $$ 4. Применим формулу произведения косинусов к каждому слагаемому: $$ 2\cos 2\alpha \cos\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) + \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha + \cos 3\alpha $$ $$ 2\cos 3\alpha \cos\alpha = \cos(3\alpha - \alpha) + \cos(3\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha + \cos 4\alpha $$ 5. Сложим полученные результаты: $$ (\cos\alpha + \cos 3\alpha) + (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) = \cos\alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + \cos 4\alpha $$ --- *Примечание.* Если вычислять выражение строго буквально по приведенной записи $4\cos\dfrac{\alpha}{2} \cdot \dfrac{\cos\alpha\cos 5\alpha}{2}$: 1. Сократим коэффициенты: $$ 4\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos\alpha\cos 5\alpha}{2} = 2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}\cos 5\alpha $$ 2. Преобразуем произведение первых двух косинусов: $$ 2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2} = \cos\left(\alpha - \frac{\alpha}{2}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{3\alpha}{2} $$ 3. Умножим полученную сумму на $\cos 5\alpha$ и применим формулу $\cos x \cos y = \dfrac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))$: $$ \left(\cos\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{3\alpha}{2}\right)\cos 5\alpha = \cos 5\alpha\cos\frac{\alpha}{2} + \cos 5\alpha\cos\frac{3\alpha}{2} $$ $$ = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{9\alpha}{2} + \cos\frac{11\alpha}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\cos\frac{7\alpha}{2} + \cos\frac{13\alpha}{2}\right) $$ $$ = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{7\alpha}{2} + \cos\frac{9\alpha}{2} + \cos\frac{11\alpha}{2} + \cos\frac{13\alpha}{2}\right) $$ **Ответ:** $\cos\alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + \cos 4\alpha$ (в случае буквального прочтения: $\frac{1}{2}\left(\cos\frac{7\alpha}{2} + \cos\frac{9\alpha}{2} + \cos\frac{11\alpha}{2} + \cos\frac{13\alpha}{2}\right)$).