ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 30 / вариант 1 - 20

20. Преобразуем сумму $S = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$, воспользовавшись формулами понижения степени: $$ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $$ $$ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $$ Возведем обе части каждого равенства в квадрат: $$ \sin^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 = \left(\frac{1 - \cos 2\alpha}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{4} $$ $$ \cos^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{4} $$ Сложим полученные выражения: $$ S = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = \frac{1 - 2\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{4} + \frac{1 + 2\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{4} $$ $$ S = \frac{(1 - 2\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha) + (1 + 2\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha)}{4} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ S = \frac{2 + 2\cos^2 2\alpha}{4} = \frac{2(1 + \cos^2 2\alpha)}{4} = \frac{1 + \cos^2 2\alpha}{2} $$ Ответ: $S = \frac{1 + \cos^2 2\alpha}{2}$ (или $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos^2 2\alpha$).