ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 30 / вариант 1 - 19

19. Вычислим значение выражения $\tg \frac{5\pi}{8}$, применив формулу половинного угла: $$ \tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Положим $\alpha = \frac{5\pi}{4}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{5\pi}{8}$. Найдем значения $\sin \frac{5\pi}{4}$ и $\cos \frac{5\pi}{4}$ по формулам приведения: $$ \sin \frac{5\pi}{4} = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \cos \frac{5\pi}{4} = \cos \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Подставим найденные значения в формулу: $$ \tg \frac{5\pi}{8} = \frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на 2: $$ \tg \frac{5\pi}{8} = \frac{2 + \sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = -\left(\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = -(\sqrt{2} + 1) = -1 - \sqrt{2} $$ Так как угол $\frac{5\pi}{8}$ принадлежит II четверти $\left(\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{8} < \pi\right)$, значение тангенса отрицательно, что соответствует полученному результату. Ответ: $-1 - \sqrt{2}$