ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / уравнения и неравенства / вариант 1 - 8

Решим уравнение: $$ |x + 3| - 5 = |x - 2| $$ Найдем нули подмодульных выражений: $x + 3 = 0 \implies x = -3$ $x - 2 = 0 \implies x = 2$ Точки $-3$ и $2$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Решим уравнение на каждом из них. **1. Первый случай:** $x < -3$. На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны: $|x + 3| = -(x + 3)$ $|x - 2| = -(x - 2)$ Подставим их в уравнение: $$ -(x + 3) - 5 = -(x - 2) $$ $$ -x - 3 - 5 = -x + 2 $$ $$ -x - 8 = -x + 2 $$ $$ -8 = 2 $$ Получили неверное равенство, следовательно, на промежутке $(-\infty; -3)$ решений нет. **2. Второй случай:** $-3 \le x < 2$. На этом промежутке первое выражение неотрицательно, а второе отрицательно: $|x + 3| = x + 3$ $|x - 2| = -(x - 2)$ Подставим их в уравнение: $$ (x + 3) - 5 = -(x - 2) $$ $$ x - 2 = -x + 2 $$ $$ 2x = 4 $$ $$ x = 2 $$ Значение $x = 2$ не входит в рассматриваемый промежуток $[-3; 2)$, поэтому на данном интервале решений нет (оно будет рассмотрено на границе следующего промежутка). **3. Третий случай:** $x \ge 2$. На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны: $|x + 3| = x + 3$ $|x - 2| = x - 2$ Подставим их в уравнение: $$ (x + 3) - 5 = x - 2 $$ $$ x - 2 = x - 2 $$ $$ 0 = 0 $$ Равенство выполняется тождественно, значит, все числа из рассматриваемого промежутка являются решениями уравнения: $x \in [2; +\infty)$. Объединяя результаты всех случаев, получаем общее решение: $x \ge 2$. Ответ: $x \in [2; +\infty)$ (или $x \ge 2$).