ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 8

8. 4) Решим уравнение: $$ \lg(x + \sqrt{3}) + \lg(x - \sqrt{3}) = 0 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной: $$ \begin{cases} x + \sqrt{3} > 0, \\ x - \sqrt{3} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -\sqrt{3}, \\ x > \sqrt{3} \end{cases} \iff x > \sqrt{3} $$ 2. Используем свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(a \cdot b)$: $$ \lg((x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})) = 0 $$ Применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ \lg(x^2 - 3) = 0 $$ 3. По определению десятичного логарифма: $$ x^2 - 3 = 10^0 $$ $$ x^2 - 3 = 1 $$ $$ x^2 = 4 $$ $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ 4. Проверим найденные значения с учётом ОДЗ ($x > \sqrt{3}$): - $x = 2$: так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, условие выполняется, корень подходит. - $x = -2$: так как $-2 < \sqrt{3}$, условие не выполняется, корень посторонний. Ответ: $2$