ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 7

Решим логарифмическое уравнение: $$ \log_{3}(x+5) = \log_{3}(2x+1) $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -5 \\ 2x > -1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -5 \\ x > -0{,}5 \end{cases} $$ Пересечением решений системы является промежуток: $x > -0{,}5$. 2. Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны ($a = 3$), приравняем выражения под знаками логарифмов: $$ x + 5 = 2x + 1 $$ Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую: $$ 5 - 1 = 2x - x $$ $$ x = 4 $$ 3. Проверим корень по ОДЗ: $4 > -0{,}5$ — условие выполняется. Проверка подстановкой в исходное уравнение: $$ \log_{3}(4 + 5) = \log_{3}(2 \cdot 4 + 1) $$ $$ \log_{3} 9 = \log_{3} 9 $$ $$ 2 = 2 $$ Равенство верное, значит, число $4$ является корнем уравнения. Ответ: $4$