ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 6

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают (в частности, если оба уравнения не имеют корней). Рассмотрим второе уравнение: $$ x - 5 = 2x - 1 $$ Решим его: $$ x - 2x = -1 + 5 $$ $$ -x = 4 $$ $$ x = -4 $$ Таким образом, второе уравнение имеет единственный корень: $x = -4$. Рассмотрим первое уравнение: $$ \log_2(x - 5) = \log_2(2x - 1) $$ *(Примечание: в оригинальном сборнике цифра 5 перед логарифмом обозначает балл за задание — $[5]$).* Найдем область допустимых значений (ОДЗ) первого уравнения: $$ \begin{cases} x - 5 > 0, \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 5, \\ x > 0{,}5 \end{cases} \iff x > 5 $$ Потенцируя первое уравнение, получаем: $$ x - 5 = 2x - 1 $$ Единственным решением этого равенства является $x = -4$. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x = -4$ условиям ОДЗ: $$ -4 > 5 \quad \text{— неверно} $$ При $x = -4$ под знаком логарифма получаются отрицательные числа: $$ x - 5 = -4 - 5 = -9 < 0 $$ $$ 2x - 1 = 2 \cdot (-4) - 1 = -9 < 0 $$ Следовательно, $x = -4$ является посторонним корнем, и первое уравнение корней не имеет (множество решений — $\varnothing$). *(Если рассматривать уравнение буквально с коэффициентом $5$, то есть $5\log_2(x - 5) = \log_2(2x - 1)$, ОДЗ также требует $x > 5$, и значение $x = -4$ не входит в область определения).* **Вывод:** Первое уравнение не имеет корней, а второе уравнение имеет корень $x = -4$. Так как их множества корней не совпадают, уравнения не являются равносильными. Ответ: уравнения не равносильны.