ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 11

11. $\boxed{4}$ Решим логарифмическое уравнение: $$ \log_{6}(x-1) - \log_{6}(2x-11) = \log_{6} 2 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ 2x - 11 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1, \\ x > 5{,}5 \end{cases} \iff x > 5{,}5 $$ Перенесем $-\log_{6}(2x-11)$ в правую часть уравнения: $$ \log_{6}(x-1) = \log_{6} 2 + \log_{6}(2x-11) $$ Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $$ \log_{6}(x-1) = \log_{6}(2(2x-11)) $$ Так как основания логарифмов равны, приравняем подлогарифмические выражения: $$ x - 1 = 2(2x - 11) $$ Раскроем скобки: $$ x - 1 = 4x - 22 $$ Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую: $$ 4x - x = 22 - 1 $$ $$ 3x = 21 $$ $$ x = 7 $$ Проверим принадлежность корня области допустимых значений: $7 > 5{,}5$ — условие выполняется, значит, $x = 7$ является корнем уравнения. Ответ: $7$