ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 4

Решим уравнение: $$ \log_{3}(x^2-5x+4)-\log_{3}(x-4)=2 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x^2 - 5x + 4 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$. $$ \begin{cases} (x - 1)(x - 4) > 0 \\ x > 4 \end{cases} $$ При $x > 4$ множитель $(x - 1) > 0$, следовательно, произведение $(x - 1)(x - 4)$ также строго больше нуля. Таким образом, ОДЗ: $x > 4$. 2. Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$: $$ \log_{3}\left(\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}\right) = 2 $$ Сократим дробь в аргументе логарифма: $$ \frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 4} = x - 1 $$ Получаем: $$ \log_{3}(x - 1) = 2 $$ 3. По определению логарифма: $$ x - 1 = 3^2 $$ $$ x - 1 = 9 $$ $$ x = 10 $$ 4. Проверим корень по ОДЗ: $10 > 4$ — условие выполняется, число является корнем. Ответ: $10$