ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 18 / вариант 1 - 3

3. [2] Сравним числа $\log_{2} 5$ и $2,8$. Запишем десятичную дробь $2,8$ в виде обыкновенной несократимой дроби: $$ 2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5} $$ Представим число $\frac{14}{5}$ в виде логарифма по основанию $2$: $$ \frac{14}{5} = \log_{2} \left(2^{\frac{14}{5}}\right) $$ Сравним аргументы логарифмов: $5$ и $2^{\frac{14}{5}}$. Для этого возведём оба положительных числа в пятую степень: $$ 5^5 = 3125 $$ $$ \left(2^{\frac{14}{5}}\right)^5 = 2^{14} = 16384 $$ Так как $3125 < 16384$, то: $$ 5 < 2^{\frac{14}{5}} $$ Логарифмическая функция $y = \log_{2} x$ является возрастающей, так как её основание $2 > 1$. Следовательно, большему аргументу соответствует большее значение функции: $$ \log_{2} 5 < \log_{2} \left(2^{\frac{14}{5}}\right) $$ $$ \log_{2} 5 < 2,8 $$ Ответ: $\log_{2} 5 < 2,8$.