ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / задание для интересующихся математикой - 4

1) Построим график функции $y = 1 - 2^{|x+1|}$. **Анализ функции и геометрические преобразования:** 1. Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. 2. Так как $|x+1| \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, то $2^{|x+1|} \ge 2^0 = 1$. Отсюда: $$ y = 1 - 2^{|x+1|} \le 1 - 1 = 0 $$ Наибольшее значение функции равно $0$ и достигается в точке $x = -1$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$. 3. График симметричен относительно вертикальной прямой $x = -1$, так как: $$ |-1 + t + 1| = |t| = |-t| = |-1 - t + 1| $$ 4. Раскроем знак модуля по определению: - При $x \ge -1$: $|x+1| = x+1$, тогда $y = 1 - 2^{x+1}$ (убывающая показательная функция). - При $x < -1$: $|x+1| = -(x+1)$, тогда $y = 1 - 2^{-(x+1)}$ (возрастающая показательная функция). **Схема построения с помощью преобразований:** - Строим график функции $y = 2^x$. - Оставляем часть графика при $x \ge 0$ и симметрично отражаем её относительно оси $Oy$, получаем график $y = 2^{|x|}$. - Сдвигаем полученный график влево на $1$ единицу вдоль оси $Ox$, получаем $y = 2^{|x+1|}$. - Отражаем график симметрично относительно оси $Ox$, получаем $y = -2^{|x+1|}$. - Сдвигаем график вверх на $1$ единицу вдоль оси $Oy$, получаем $y = 1 - 2^{|x+1|}$. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-3$ | График представляет собой кривую с «острием» (вершиной) в точке $(-1; 0)$, ветви которой симметрично опускаются вниз к $-\infty$ при $x \to \pm\infty$. --- 2) Построим график функции $y = 1 + 2^{-|x+1|}$. **Анализ функции и геометрические преобразования:** 1. Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. 2. Так как $|x+1| \ge 0$, показатель степени $-|x+1| \le 0$. Значит, $0 < 2^{-|x+1|} \le 2^0 = 1$. Отсюда: $$ 1 < 1 + 2^{-|x+1|} \le 2 $$ Наибольшее значение функции равно $2$ в точке $x = -1$. При $x \to \pm\infty$ значение показательного выражения $2^{-|x+1|} \to 0$, поэтому $y \to 1$. Прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой графика. Область значений: $E(y) = (1; 2]$. 3. График симметричен относительно прямой $x = -1$. 4. Раскроем знак модуля: - При $x \ge -1$: $y = 1 + 2^{-(x+1)} = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}$ (убывает от $2$ до $1$). - При $x < -1$: $y = 1 + 2^{x+1}$ (возрастает от $1$ до $2$). **Схема построения с помощью преобразований:** - Строим график убывающей показательной функции $y = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. - Для $x \ge 0$ сохраняем график и отображаем его симметрично влево относительно оси $Oy$, получаем $y = 2^{-|x|}$. - Сдвигаем график на $1$ единицу влево вдоль оси $Ox$, получаем $y = 2^{-|x+1|}$. - Сдвигаем график на $1$ единицу вверх вдоль оси $Oy$, получаем $y = 1 + 2^{-|x+1|}$. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1{,}25$ | $1{,}5$ | $2$ | $1{,}5$ | $1{,}25$ | График функции имеет вершину (максимум) в точке $(-1; 2)$, ветви симметрично убывают вправо и влево, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y = 1$ сверху.