ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / задание для интересующихся математикой - 1

1) $5^x - 4 = 5^{1 - x}$ Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $5^{1 - x} = \frac{5}{5^x}$: $$ 5^x - 4 = \frac{5}{5^x} $$ Сделаем замену переменной $t = 5^x$, причём $t > 0$: $$ t - 4 = \frac{5}{t} $$ Умножим обе части уравнения на $t$ ($t > 0$): $$ t(t - 4) = 5 $$ $$ t^2 - 4t - 5 = 0 $$ По теореме Виета находим корни квадратного уравнения: $$ t_1 = 5, \quad t_2 = -1 $$ Так как $t > 0$, корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию замены. Вернёмся к переменной $x$ для $t = 5$: $$ 5^x = 5^1 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $x = 1$. --- 2) $2 \cdot 9^x - 6^x = 3 \cdot 4^x$ Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, $6^x = (3 \cdot 2)^x = 3^x \cdot 2^x$, а $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Перепишем уравнение: $$ 2 \cdot (3^x)^2 - 3^x \cdot 2^x - 3 \cdot (2^x)^2 = 0 $$ Получили однородное показательное уравнение второй степени. Так как $4^x > 0$ при любых действительных $x$, разделим обе части уравнения на $4^x = (2^x)^2$: $$ 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{3}{2}\right)^x - 3 = 0 $$ Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, где $t > 0$. Тогда получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - t - 3 = 0 $$ Найдём дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$ $$ t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -\frac{4}{4} = -1 $$ Так как $t > 0$, значение $t_2 = -1$ постороннее. Вернёмся к замене: $$ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{3}{2} $$ $$ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^1 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $x = 1$. --- 3) $2^x + 3^x - 0,5^x = 0,2^x + 0,3^x - 4^x$ Сгруппируем слагаемые так, чтобы основания, большие единицы, находились в одной части, а меньшие единицы — в другой: $$ 2^x + 3^x + 4^x = 0,5^x + 0,2^x + 0,3^x $$ Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения: - Функция $f(x) = 2^x + 3^x + 4^x$ является суммой показательных функций с основаниями $2 > 1$, $3 > 1$, $4 > 1$. Каждая из них строго возрастает на всей числовой прямой, следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на $\mathbb{R}$. - Функция $g(x) = 0,5^x + 0,2^x + 0,3^x$ является суммой показательных функций с основаниями $0,5 \in (0; 1)$, $0,2 \in (0; 1)$, $0,3 \in (0; 1)$. Каждая из них строго убывает на всей числовой прямой, следовательно, функция $g(x)$ строго убывает на $\mathbb{R}$. Уравнение вида $f(x) = g(x)$, где функция $f(x)$ строго возрастает, а $g(x)$ строго убывает, может иметь не более одного корня. Проверим значение $x = 0$: $$ f(0) = 2^0 + 3^0 + 4^0 = 1 + 1 + 1 = 3 $$ $$ g(0) = 0,5^0 + 0,2^0 + 0,3^0 = 1 + 1 + 1 = 3 $$ Равенство $f(0) = g(0)$ верно, значит, $x = 0$ — единственный корень уравнения. Ответ: $x = 0$.