ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / задание для интересующихся математикой - 2

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2 \cdot 15^x + 15^y = 5^x \cdot 3^{-y}, \\ 2 \cdot 3^{x-y} - 5^{y-x} = 3 \cdot 9^x. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы. Запишем $15^x = 3^x \cdot 5^x$ и $15^y = 3^y \cdot 5^y$: $$ 2 \cdot 3^x \cdot 5^x + 3^y \cdot 5^y = 5^x \cdot 3^{-y} $$ Разделим обе части уравнения на $5^x \cdot 3^y$ (так как показательная функция принимает только положительные значения): $$ 2 \cdot 3^{x-y} + 5^{y-x} = 3^{-2y} $$ Второе уравнение системы перепишем, представив правую часть как $3 \cdot 9^x = 3^1 \cdot 3^{2x} = 3^{2x+1}$: $$ 2 \cdot 3^{x-y} - 5^{y-x} = 3^{2x+1} $$ Получаем систему относительно выражений $3^{x-y}$ и $5^{y-x}$: $$ \begin{cases} 2 \cdot 3^{x-y} + 5^{y-x} = 3^{-2y}, \\ 2 \cdot 3^{x-y} - 5^{y-x} = 3^{2x+1}. \end{cases} $$ Сложим и вычтем эти два уравнения: $$ \begin{cases} 4 \cdot 3^{x-y} = 3^{-2y} + 3^{2x+1}, \\ 2 \cdot 5^{y-x} = 3^{-2y} - 3^{2x+1}. \end{cases} $$ Пусть $u = 3^{x-y}$, $a = 3^{-2y}$, $b = 3^{2x+1}$. Заметим, что: $$ a \cdot b = 3^{-2y} \cdot 3^{2x+1} = 3^{2(x-y)+1} = 3 \cdot (3^{x-y})^2 = 3u^2 $$ Из первого равенства $a + b = 4u$. Тогда $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 4ut + 3u^2 = 0 $$ $$ (t - u)(t - 3u) = 0 $$ Отсюда получаем два корня: $t_1 = u$ и $t_2 = 3u$. Так как $2 \cdot 5^{y-x} > 0$, из второго равенства следует, что $a - b > 0$, то есть $a > b$. Значит: $$ a = 3u, \quad b = u $$ Тогда: $$ a - b = 3u - u = 2u $$ $$ 2 \cdot 5^{y-x} = 2 \cdot 3^{x-y} \implies 5^{y-x} = 3^{x-y} $$ Перепишем равенство как: $$ 5^{-(x-y)} = 3^{x-y} \implies 15^{x-y} = 1 \implies x - y = 0 \implies x = y $$ При $x = y$ имеем $u = 3^0 = 1$. Тогда: $$ b = u \implies 3^{2x+1} = 1 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} $$ $$ y = x = -\frac{1}{2} $$ Ответ к пункту 1: $\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$. --- 2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{x-y} - 2 \cdot 6^{x-y} = 6^{-2y}, \\ 3^{x-y+1} + 6^{-x-y} = 2. \end{cases} $$ Заметим, что показатель степени в правой части первого уравнения можно представить в виде: $$ -2y = (x - y) - (x + y) $$ Тогда первое уравнение принимает вид: $$ 2^{x-y} - 2 \cdot 6^{x-y} = 6^{x-y} \cdot 6^{-(x+y)} $$ Разделим обе части на $6^{x-y} \neq 0$: $$ \left(\frac{2}{6}\right)^{x-y} - 2 = 6^{-(x+y)} $$ $$ 3^{-(x-y)} - 2 = 6^{-(x+y)} $$ Преобразуем второе уравнение системы: $$ 3 \cdot 3^{x-y} + 6^{-(x+y)} = 2 $$ Подставим выражение для $6^{-(x+y)}$ из первого уравнения во второе: $$ 3 \cdot 3^{x-y} + 3^{-(x-y)} - 2 = 2 $$ $$ 3 \cdot 3^{x-y} + \frac{1}{3^{x-y}} - 4 = 0 $$ Сделаем замену переменной $t = 3^{x-y}$, где $t > 0$: $$ 3t + \frac{1}{t} - 4 = 0 $$ $$ 3t^2 - 4t + 1 = 0 $$ $$ (3t - 1)(t - 1) = 0 $$ Получаем два корня: $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{3}$. Рассмотрим каждый случай: 1. Если $t = 1$, то $3^{x-y} = 1 \implies x - y = 0$. Тогда $6^{-(x+y)} = 3^0 - 2 = -1$, что невозможно, так как показательная функция строго положительна ($6^{-(x+y)} > 0$). 2. Если $t = \frac{1}{3}$, то: $$ 3^{x-y} = 3^{-1} \implies x - y = -1 $$ $$ 6^{-(x+y)} = 3^{-(-1)} - 2 = 3 - 2 = 1 \implies -(x + y) = 0 \implies x + y = 0 $$ Решим полученную линейную систему: $$ \begin{cases} x - y = -1, \\ x + y = 0. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} $$ Из второго уравнения: $$ y = -x = \frac{1}{2} $$ Ответ к пункту 2: $\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$. --- 3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^x \cdot 64^y = 36, \\ 5^x \cdot 512^y = 200. \end{cases} $$ Представим числа через степени простых множителей: $$ 64 = 2^6, \quad 512 = 2^9, \quad 36 = 2^2 \cdot 3^2, \quad 200 = 2^3 \cdot 5^2 $$ Перепишем систему: $$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^{6y} = 3^2 \cdot 2^2, \\ 5^x \cdot 2^{9y} = 5^2 \cdot 2^3. \end{cases} $$ Разделим обе части первого уравнения на $3^2 \cdot 2^2$, а второго — на $5^2 \cdot 2^3$: $$ \begin{cases} 3^{x-2} \cdot 2^{6y-2} = 1, \\ 5^{x-2} \cdot 2^{9y-3} = 1. \end{cases} $$ Заметим, что показатели степеней двойки кратны $(3y - 1)$: $$ 6y - 2 = 2(3y - 1), \quad 9y - 3 = 3(3y - 1) $$ Пусть $u = x - 2$ и $v = 3y - 1$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} 3^u \cdot (2^2)^v = 1, \\ 5^u \cdot (2^3)^v = 1; \end{cases} \implies \begin{cases} 3^u \cdot 4^v = 1, \\ 5^u \cdot 8^v = 1. \end{cases} $$ Прологарифмируем оба уравнения (например, по натуральному основанию): $$ \begin{cases} u \ln 3 + v \ln 4 = 0, \\ u \ln 5 + v \ln 8 = 0; \end{cases} \implies \begin{cases} u \ln 3 = -2v \ln 2, \\ u \ln 5 = -3v \ln 2. \end{cases} $$ Если $v \neq 0$, то и $u \neq 0$. Разделив второе равенство на первое, получаем: $$ \frac{\ln 5}{\ln 3} = \frac{-3v \ln 2}{-2v \ln 2} = \frac{3}{2} $$ $$ 2 \ln 5 = 3 \ln 3 \implies \ln(5^2) = \ln(3^3) \implies 25 = 27 $$ Полученное числовое равенство неверно. Следовательно, $v = 0$. При $v = 0$ из любого уравнения получаем $u = 0$. Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x - 2 = 0, \\ 3y - 1 = 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2, \\ y = \frac{1}{3}. \end{cases} $$ Ответ к пункту 3: $\left(2; \frac{1}{3}\right)$. --- Ответ: 1) $\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$; 2) $\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$; 3) $\left(2; \frac{1}{3}\right)$.