ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 13 / вариант 2 - 4

5) Решим показательное неравенство: $$ 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 < 0 $$ Представим $9^x$ как степень с основанием $3$: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Получаем: $$ (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x - 18 < 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$. Запишем неравенство относительно $t$: $$ t^2 - 7t - 18 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 7t - 18 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 7 \\ t_1 \cdot t_2 = -18 \end{cases} \implies t_1 = -2, \quad t_2 = 9 $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (t + 2)(t - 9) < 0 $$ Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями: $$ -2 < t < 9 $$ Учитывая ограничение $t > 0$, получаем: $$ 0 < t < 9 $$ Выполним обратную замену $t = 3^x$: $$ 0 < 3^x < 9 $$ Неравенство $3^x > 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$. Перейдем к решению второго неравенства: $$ 3^x < 9 $$ $$ 3^x < 3^2 $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x < 2 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.