ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 12 / вариант 1 - 8

8. Решим показательное уравнение: $$ 4^x - 12 \cdot 2^x + 32 = 0 $$ Преобразуем первое слагаемое, используя свойство степени $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$: $$ (2^x)^2 - 12 \cdot 2^x + 32 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - 12t + 32 = 0 $$ Найдем корни с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 12 \\ t_1 \cdot t_2 = 32 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ t_1 = 4, \quad t_2 = 8 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к исходной переменной: 1) При $t = 4$: $$ 2^x = 4 $$ $$ 2^x = 2^2 \implies x_1 = 2 $$ 2) При $t = 8$: $$ 2^x = 8 $$ $$ 2^x = 2^3 \implies x_2 = 3 $$ Ответ: $2; 3$