ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 12 / вариант 1 - 10

Решим показательное уравнение: $$ (0,2)^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left(\frac{1}{5}\right)^6 $$ Приведем все степени к основанию $5$. Заметим, что: $$ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1} $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^6 = (5^{-1})^6 = 5^{-6} $$ Подставим эти выражения в исходное уравнение: $$ (5^{-1})^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6} $$ Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, преобразуем левую часть: $$ 5^{-x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6} $$ $$ 5^{-x^2 + 2x + 2} = 5^{-6} $$ Так как основания степеней равны и положительны (не равны $1$), приравняем показатели: $$ -x^2 + 2x + 2 = -6 $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и решим полученное квадратное уравнение: $$ -x^2 + 2x + 8 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ x^2 - 2x - 8 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases} $$ Отсюда находим корни: $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 4 $$ Ответ: $-2; 4$