ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 2 - 8

8. Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{3x+1} - \sqrt{x+8} = 1 $$ Определим область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 3x + 1 \ge 0, \\ x + 8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{3}, \\ x \ge -8 \end{cases} \implies x \ge -\dfrac{1}{3} $$ Изолируем один из корней, перенеся слагаемое $-\sqrt{x+8}$ в правую часть уравнения: $$ \sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{x+8} $$ Так как обе части уравнения неотрицательны при $x \ge -\dfrac{1}{3}$, возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{3x+1})^2 = (1 + \sqrt{x+8})^2 $$ $$ 3x + 1 = 1 + 2\sqrt{x+8} + (x + 8) $$ $$ 3x + 1 = x + 9 + 2\sqrt{x+8} $$ Перенесём слагаемые без корня в левую часть: $$ 3x - x + 1 - 9 = 2\sqrt{x+8} $$ $$ 2x - 8 = 2\sqrt{x+8} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x - 4 = \sqrt{x+8} $$ Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, должно выполняться условие: $$ x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (x - 4)^2 = (\sqrt{x+8})^2 $$ $$ x^2 - 8x + 16 = x + 8 $$ $$ x^2 - 9x + 8 = 0 $$ По теореме Виета найдем корни квадратного уравнения: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 9, \\ x_1 \cdot x_2 = 8 \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 8 $$ Проверим полученные значения с учётом условия $x \ge 4$: - при $x = 1$: условие $1 \ge 4$ не выполняется, следовательно, $x = 1$ — посторонний корень; - при $x = 8$: условие $8 \ge 4$ выполняется, корень подходит. Выполним проверку найденного корня подстановкой в исходное уравнение: $$ \sqrt{3 \cdot 8 + 1} - \sqrt{8 + 8} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 $$ $$ 1 = 1 \quad \text{— верно.} $$ Ответ: $8$