ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 2 - 7

Решим иррациональное уравнение: $$\sqrt{x+7} + \sqrt{x} = 9$$ ### 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$\begin{cases} x + 7 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 0 \end{cases} \iff x \ge 0$$ Таким образом, ОДЗ: $x \in [0; +\infty)$. ### 2. Преобразование и решение уравнения Оставим один корень в левой части, а второй перенесём в правую: $$\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x}$$ Так как левая часть неотрицательна ($\sqrt{x+7} \ge 0$), правая часть также должна быть неотрицательной: $$9 - \sqrt{x} \ge 0 \iff \sqrt{x} \le 9 \iff x \le 81$$ С учётом ОДЗ переменная должна удовлетворять условию $0 \le x \le 81$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{x+7})^2 = (9 - \sqrt{x})^2$$ $$x + 7 = 81 - 18\sqrt{x} + x$$ Вычтем $x$ из обеих частей уравнения: $$7 = 81 - 18\sqrt{x}$$ Перенесём слагаемое с корнем влево, а число $7$ — вправо: $$18\sqrt{x} = 81 - 7$$ $$18\sqrt{x} = 74$$ Разделим обе части на $18$ (сократим дробь на $2$): $$\sqrt{x} = \frac{74}{18}$$ $$\sqrt{x} = \frac{37}{9}$$ Возведём обе части полученного уравнения в квадрат: $$x = \left(\frac{37}{9}\right)^2$$ $$x = \frac{1369}{81} = 16\frac{73}{81}$$ ### 3. Проверка Число $x = \frac{1369}{81}$ удовлетворяет условию $0 \le x \le 81$. Подставим найденное значение в исходное уравнение: $$\sqrt{\frac{1369}{81} + 7} + \sqrt{\frac{1369}{81}} = 9$$ $$\sqrt{\frac{1369 + 567}{81}} + \frac{37}{9} = 9$$ $$\sqrt{\frac{1936}{81}} + \frac{37}{9} = 9$$ Так как $44^2 = 1936$: $$\frac{44}{9} + \frac{37}{9} = 9$$ $$\frac{81}{9} = 9$$ $$9 = 9 \quad \text{— верно.}$$ Ответ: $\dfrac{1369}{81}$ (или $16\dfrac{73}{81}$).